Marcin Leda
"Modelowanie wybranych asymptotycznych rozkładów stężeń reagentów w jednowymiarowych i dwuwymiarowych nieliniowych układach reakcja-dyfuzja"

Promotor: Doc. dr hab. Andrzej L. Kawczyński

Streszczenie

W pracy doktorskiej rozważane są asymptotyczne rozwiązania układów reakcja-dyfuzja (RD) w postaci: biegnących frontów, impulsów, źródeł impulsów oraz zależnych od czasu struktur dyssypatywnych w przestrzeniach jedno- (1D) i dwuwymiarowych (2D).

W pierwszej części pracy doktorskiej rozważane są biegnące fronty łączące stabilne stany stacjonarne w multistabilnych 1D układach RD opisywanych jedną zmienną. Pokazano, że w takich układach mogą istnieć monotoniczne jak i niemonotoniczne wielokrotne fronty złożone z wielu frontów pojedynczych. Zostały podane rodzaje biegnących frontów i ich liczby, a także warunki, jakie musi spełniać funkcja opisująca dynamikę układu oraz warunki początkowe dla wszystkich biegnących frontów, jakie mogą pojawić się w układzie mającym n + 1 stabilnych stanów stacjonarnych.

W następnej części przedstawiony jest model źródła fal zawierający dwie zmienne. Model ten jest realistycznym opisem katalitycznej (enzymatycznej) reakcji inhibitowanej nadmiarem jej substratu i produktu. Idea jego opiera się współistnieniu stabilnego stanu stacjonarnego i stabilnego cyklu granicznego powyżej subkrytycznej bifurkacji Hopfa. W układzie takim mogą pojawić się, w zależności od wielkości obszaru przyciągania stabilnego stanu stacjonarnego, nieskończone lub skończone sekwencje impulsów. Dla średniej wielkości obszarów przyciągania pojawiają się impulsy z punktami ekstremalnymi pomiędzy ich frontami a tyłami. W układach 2D, dla odpowiednich warunków początkowych, obserwowane są jedno- i wieloramienne spirale.

W części trzeciej rozważana jest stabilność 1D impulsów w przestrzeni 2D w monostabilnym i pobudliwym układzie z dwiema zmiennymi. Takie impulsy są niestabilne powyżej pewnej krytycznej wielkości obszaru prostopadłej do kierunku propagacji i dla współczynnika dyfuzji inhibitora większego niż współczynnik dyfuzji aktywatora. Niestabilność ta może prowadzić do pojedynczych zakrzywionych impulsów, które poruszają się z prędkościami większymi niż 1D impulsy. Zakrzywione impulsy są periodyczne względem kartezjańskiej współrzędnej prostopadłej do kierunku propagacji. Dla odpowiednich warunków początkowych mogą pojawić się asymptotyczne struktury złożone z prawie nieruchomych impulsów oraz biegnących impulsów.

W ostatniej części badana jest możliwość wystąpienia asymptotycznych rozwiązań 2D zależnych od czasu. Rozważany jest pobudliwy model z jednym stanem stacjonarnym opisujący reakcję, której szybkość zależy od temperatury zgodnie z zależnością Arrheniusa. Wartości parametrów dobrane są tak, że w układach 1D asymptotycznym rozwiązaniem jest impuls periodycznie odbijający się od ścian. W kwadratowych obszarach i dla symetrycznych warunków początkowych, asymptotycznymi rozwiązaniami są impulsy odbijające się periodycznie wzdłuż głównej przekątnej. Są one stabilne tylko dla wielkości kwadratu mniejszych niż pewien krytyczny rozmiar. Niestabilność 1D impulsów w obszarach ograniczonych prowadzi do asymptotycznych struktur złożonych z wielu zakrzywionych impulsów odbijających się periodycznie od ścian i od siebie.